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          高中數學-圓錐曲線常用的二級結論.doc

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          圓錐曲線常用的二級結論橢圓與雙曲線對偶結論橢圓雙曲線標準方程焦點焦點焦半徑為離心率,為點的橫坐標.為離心率,為點的橫坐標.焦半徑范圍為橢圓上一點,為焦點.為雙曲線上一點,為焦點.通徑過焦點與長軸垂直的弦稱為通徑.通徑長為過焦點與實軸垂直的弦稱為通徑.通徑長為如圖,直線過焦點與橢圓相交于兩點.則的周長為.(即)如圖,直線過焦點與雙曲線相交于兩點.則.焦點弦傾斜角為的直線過焦點與橢圓相交于兩點.焦點弦長.最長焦點弦為長軸,最短焦點弦為通徑.傾斜角為的直線過焦點與雙曲線相交于兩點.焦點弦長.與數量關系直線過焦點與橢圓相交于兩點,則.直線過焦點與雙曲線相交于兩點,則.已知點是橢圓上一點,坐標原點,則.已知點是雙曲線上一點,坐標原點,則.焦三角形如圖,是橢圓上異于長軸端點的一點,已知,,,則(1);(2)離心率.如圖,是雙曲線上異于實軸端點的一點,已知,,,則(1);(2)離心率.垂徑定理如圖,已知直線與橢圓相交于兩點,點為的中點,為原點,則.如圖,已知直線與雙曲線相交于兩點,點為的中點,為原點,則.(注:直線與雙曲線的漸近線相交于兩點,其他條件不變,結論依然成立)周角定理如圖,已知點橢圓長軸端點(短軸端點),是橢圓上異于的一點,則.推廣:如圖,已知點是橢圓上關于原點對稱的兩點,是橢圓上異于的一點,若直線的斜率存在且不為零,如圖,已知點雙曲線實軸端點,是雙曲線上異于的一點,則.推廣:如圖,已知點是雙曲線上關于原點對稱的兩點,是雙曲線上異于的一點,若直線的斜率存在且不為零,.直線過焦點與橢圓相交于兩點,點,則(即).直線過焦點與雙曲線相交于兩點,點,則(即).切線方程已知點是橢圓上一點,則橢圓在點處的切線方程為.已知點是雙曲線上一點,則雙曲線在點處的切線方程為.雙曲線的結論1.過定點(定點在雙曲線外且不在漸近線上)的直線與雙曲線交點個數問題:設斜率為的直線過定點,雙曲線方程為,過點與雙曲線相切時的斜率為.(1)當時,直線與雙曲線有兩個交點,且這兩交點在雙曲線的兩支上;(2)當時,直線與雙曲線只有一個交點;(3)當時,直線與雙曲線有兩個交點,且這兩交點在雙曲線的同一支上;(4)當時,直線與雙曲線只有一個交點;(5)當時,直線與雙曲線沒有交點.2.如圖,是雙曲線的焦點,過點作垂直雙曲線的其中一條漸近線,垂足為,為原點,則.3.點是雙曲線上任意一點,則點到雙曲線的漸近線的距離之積為定值.4.點是雙曲線上任意一點,過點作雙曲線的漸近線的平行線分別與漸近線相交于兩點,為原點,則平行四邊形的面積為定值.拋物線的結論如圖,拋物線方程為,準線與軸相交于點,過焦點的直線與拋物線相交于,兩點,為原點,直線的傾斜角為.1.2.焦半徑:,,.3.焦點弦:.4.的數量關系:,.5.三角形的面積.6.以焦點弦為直徑的圓與準線相切;以焦半徑為直徑的圓與軸相切.7.直線的斜率之和為零(),即.8.點三點共線;點三點共線.9.如圖,點是拋物線,為原點,若,則直線過定點.

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